线性代数——补充8—矩阵的迹

矩阵的迹 (Trace of a Matrix)

什么是矩阵的迹？

矩阵的迹是一个标量（也就是一个数字），它等于一个方阵（行数和列数相同的矩阵）主对角线上所有元素的和。

定义： 设 AAA 是一个 n×nn \times nn×n 的方阵： A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}A=⎝⎜⎜⎜⎛​a11​a21​⋮an1​​a12​a22​⋮an2​​⋯⋯⋱⋯​a1n​a2n​⋮ann​​⎠⎟⎟⎟⎞​ 则矩阵 AAA 的迹记作 tr(A)\mathrm{tr}(A)tr(A) 或 Tr(A)\mathrm{Tr}(A)Tr(A)，定义为： tr(A)=∑i=1naii=a11+a22+⋯+ann\mathrm{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}tr(A)=i=1∑n​aii​=a11​+a22​+⋯+ann​

例子：

如果 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}A=(13​24​)，那么 tr(A)=1+4=5\mathrm{tr}(A) = 1 + 4 = 5tr(A)=1+4=5。

如果 B=(100020003)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}B=⎝⎛​100​020​003​